Arbeitsblatt: Quadratische Gleichungen – Quadratische Ergänzung

Teil 1 – Gleichungen der Form x² + b·x + c = 0

Beispiel:

x² + 6x − 7 = 0

Schritt 1: Verschiebe die Zahl auf die rechte Seite:

x² + 6x = 7

Schritt 2: Quadratische Ergänzung: Addiere (b/2)² = (6/2)² = 9 auf beiden Seiten:

x² + 6x + 9 = 7 + 9

Schritt 3: Schreibe die linke Seite als Quadrat:

(x + 3)² = 16

Schritt 4: Ziehe die Wurzel:

x + 3 = ± √16

Schritt 5: Löse nach x auf:

x = −3 ± 4

✅ Lösung: x = 1 oder x = −7

Aufgaben – Teil 1

1. x² + 8x + 5 = 0
2. x² − 10x + 9 = 0
3. x² + 4x − 5 = 0

Teil 2 – Gleichungen mit Faktor vor x²

Beispiel:

2x² + 8x − 10 = 0

Schritt 1: Teile alle Terme durch 2:

x² + 4x − 5 = 0

Schritt 2: Verschiebe −5 auf die rechte Seite:

x² + 4x = 5

Schritt 3: Quadratische Ergänzung: (b/2)² = (4/2)² = 4

x² + 4x + 4 = 5 + 4

Schritt 4: Schreibe als Quadrat:

(x + 2)² = 9

Schritt 5: Ziehe die Wurzel:

x + 2 = ± √9

Schritt 6: Löse nach x:

x = −2 ± 3

✅ Lösung: x = 1 oder x = −5

Aufgaben – Teil 2

4. 3x² + 12x − 15 = 0
5. 2x² − 6x − 8 = 0
6. 4x² + 8x − 12 = 0

Reflexion

  1. Warum teilen wir den Faktor vor x² zuerst weg?
  2. Wie funktioniert die quadratische Ergänzung bei jeder Gleichung?
  3. Wie unterscheiden sich reelle und imaginäre Lösungen in diesem Verfahren?